Loading web-font TeX/Main/Regular

PHẦN MỀM HỖ TRỢ DẠY VÀ HỌC

Bài toán thực tế liên quan Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn

Bài toán. Bác Năm dự định trồng ngô và đậu xanh trên một mảnh đất có diện tích 8 ha. Nếu trồng 1 ha ngô thì cần 20 ngày công và thu được 40 triệu đồng. Nếu trồng 1 ha đậu xanh thì cần 30 ngày công và thu được 50 triệu đồng. Bác Năm cần trồng bao nhiêu hecta cho mỗi loại cây để thu được nhiều tiền nhất? Biết rằng, bác Năm chỉ có thể sử dụng không quá 180 ngày công cho việc trồng ngô và đậu xanh.

Hướng dẫn

Gọi x là số ha đất trồng ngô và y là số ha đất trồng đậu xanh.

Ta có các điều kiện ràng buộc đối với x, y như sau:

  • Hiển nhiên x \geq 0, y \geq 0.
  • Diện tích canh tác không vượt quá 8 ha nên x+y \leq 8.
  • Số ngày công sử dụng không vượt quá 180 nên 20x + 30y \leq 180.

Từ đó, ta có hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc: \heva{&x+y \leq 8 \\ &20x + 30y \leq 180 \\ &x \geq 0 \\ &y \geq 0}

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình này trên hệ trục toạ độ Oxy, ta được miền tứ giác OABC như hình sau:


    \usetikzlibrary{calc,intersections}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5, font=\footnotesize, line join=round, line cap=round, >=stealth,
	declare function={
		f(\x)=(18-2*\x)/3;
		g(\x)=8-\x;
		T(\x)=(\F-40*\x)/50;
	}
	]
	
	\draw[->] (-1,0)--(12,0) node[below left]{$x$};
	\draw[->] (0,-1)--(0,10) node[below left]{$y$};
	\clip (-1,-1) rectangle (12,10);
	
	\foreach \x in {-2,-1.8,...,12}{
	\begin{scope}[thin,cyan,opacity=0.5]
		\draw (\x,0)--++(-80:2);
		\draw (\x,{f(\x)})--++(80:15);
		\draw (\x,{g(\x)})--++(60:15);
	\end{scope}
	}
	
	\foreach \y in {-1,-0.8,...,10}
	\draw[thin,cyan,opacity=0.5] (0,\y)--++(190:2);
	
	\draw[smooth,thick,magenta,name path=fx] plot[domain=-1:12] ({\x},{f(\x)});
	\draw[smooth,thick,blue,name path=gx] plot[domain=-1:12] ({\x},{g(\x)});
	\path[name intersections={of = fx and gx, by = B}]
		(0,6) coordinate (A)
		(8,0) coordinate (C)
		(0,0) coordinate (O)
	;
	
	\path (-1,{f(-1)})--(12,{f(12)}) node[magenta,pos=0.3,sloped,below]{$20x+30y=180$};
	\path (-1,{g(-1)})--(12,{g(12)}) node[blue,pos=0.3,sloped,above]{$x+y=8$};

	\foreach \p/\r in {A/35,B/35,C/161,O/-135}
	\fill (\p) circle (3pt) node[scale=0.8,shift={(\r:3.5mm)}]{$\p$};
	
	\foreach \x in {8,9}
	\fill (\x,0) circle (3pt) node[below]{$\x$};
	
	\foreach \y in {6,8}
	\fill (0,\y) circle (3pt) node[left]{$\y$};
\end{tikzpicture}

Gọi \mathcal{D} là miền tứ giác OABC, toạ độ các đỉnh của \mathcal{D} là: O(0;0), A(0;6), B(6;2), C(8;0).

Gọi F là số tiền (đơn vị: triệu đồng) bác Năm thu được, ta có: F = 40x + 50y.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức F = 40x + 50y, với (x, y) là một điểm thuộc miền đa giác \mathcal{D}.

Lúc này, với mỗi giá trị thực của F, ta thấy phương trình 40x + 50y = F có đồ thị là họ các đường thẳng song song với nhau ứng với mỗi giá trị thực F.

Như vậy, nghiệm của bài toán là giá trị F lớn nhất sao cho đường thẳng 40x + 50y = F giao với miền \mathcal{D} khác rỗng. Từ hình vẽ, xét trên miền \mathcal{D} = OABC ta thấy:

\max\limits_{\mathcal{D}} F = 340 tại B(6;2)

Nhận xét. Nếu miền nghiệm của hệ bất phương trình là một đa giác \mathcal{D} (gồm cả biên là các đường thẳng), thì tồn tại một trong các đỉnh của \mathcal{D} để biểu thức F (hàm mục tiêu) đạt giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) trên miền \mathcal{D} tại đỉnh đó.

Trong bài toán này, biểu thức F đạt giá trị lớn nhất trên miền \mathcal{D} tại một trong các đỉnh của tứ giác OABC, ta có:

  • Tại O(0;0): F = 0.
  • Tại A(0;6): F = 300.
  • Tại B(6;2): F = 340.
  • Tại C(8;0): F = 320.

Vậy, bác Năm nên trồng 6 ha ngô và 2 ha đậu xanh, số tiền thu được nhiều nhất là 340 triệu đồng.

Chú ý.
  • Có thể không tồn tại giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm mục tiêu F nếu miền \mathcal{D} không đóng.
  • Có vô số điểm trên miền \mathcal{D} thỏa đề bài nếu đồ thị của hàm mục tiêu song song với một trong các cạnh của \mathcal{D}.

Đăng nhận xét

0 Nhận xét