Bài toán thực tế liên quan Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn

Bài toán. Bác Năm dự định trồng ngô và đậu xanh trên một mảnh đất có diện tích $8$ ha. Nếu trồng $1$ ha ngô thì cần $20$ ngày công và thu được $40$ triệu đồng. Nếu trồng 1 ha đậu xanh thì cần $30$ ngày công và thu được $50$ triệu đồng. Bác Năm cần trồng bao nhiêu hecta cho mỗi loại cây để thu được nhiều tiền nhất? Biết rằng, bác Năm chỉ có thể sử dụng không quá $180$ ngày công cho việc trồng ngô và đậu xanh.

(SGK-CTST Toán 10, tập 1, tr35)

Hướng dẫn

Gọi $x$ là số ha đất trồng ngô và $y$ là số ha đất trồng đậu xanh.

Ta có các điều kiện ràng buộc đối với $x, y$ như sau:

• Hiển nhiên $x \geq 0, y \geq 0$.
• Diện tích canh tác không vượt quá 8 ha nên $x+y \leq 8$.
• Số ngày công sử dụng không vượt quá 180 nên $20x + 30y \leq 180$.

Từ đó, ta có hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc: $\heva{&x+y \leq 8 \\ &20x + 30y \leq 180 \\ &x \geq 0 \\ &y \geq 0}$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình này trên hệ trục toạ độ $Oxy$, ta được miền tứ giác $OABC$ như hình sau:

$$ \usetikzlibrary{calc,intersections} \begin{tikzpicture}[scale=0.5, font=\footnotesize, line join=round, line cap=round, >=stealth, declare function={ f(\x)=(18-2*\x)/3; g(\x)=8-\x; T(\x)=(\F-40*\x)/50; } ] \draw[->] (-1,0)--(12,0) node[below left]{$x$}; \draw[->] (0,-1)--(0,10) node[below left]{$y$}; \clip (-1,-1) rectangle (12,10); \foreach \x in {-2,-1.8,...,12}{ \begin{scope}[thin,cyan,opacity=0.5] \draw (\x,0)--++(-80:2); \draw (\x,{f(\x)})--++(80:15); \draw (\x,{g(\x)})--++(60:15); \end{scope} } \foreach \y in {-1,-0.8,...,10} \draw[thin,cyan,opacity=0.5] (0,\y)--++(190:2); \draw[smooth,thick,magenta,name path=fx] plot[domain=-1:12] ({\x},{f(\x)}); \draw[smooth,thick,blue,name path=gx] plot[domain=-1:12] ({\x},{g(\x)}); \path[name intersections={of = fx and gx, by = B}] (0,6) coordinate (A) (8,0) coordinate (C) (0,0) coordinate (O) ; \path (-1,{f(-1)})--(12,{f(12)}) node[magenta,pos=0.3,sloped,below]{$20x+30y=180$}; \path (-1,{g(-1)})--(12,{g(12)}) node[blue,pos=0.3,sloped,above]{$x+y=8$}; \foreach \p/\r in {A/35,B/35,C/161,O/-135} \fill (\p) circle (3pt) node[scale=0.8,shift={(\r:3.5mm)}]{$\p$}; \foreach \x in {8,9} \fill (\x,0) circle (3pt) node[below]{$\x$}; \foreach \y in {6,8} \fill (0,\y) circle (3pt) node[left]{$\y$}; \end{tikzpicture} $$

Gọi $\mathcal{D}$ là miền tứ giác $OABC$, toạ độ các đỉnh của $\mathcal{D}$ là: $O(0;0)$, $A(0;6)$, $B(6;2)$, $C(8;0)$.

Gọi $F$ là số tiền (đơn vị: triệu đồng) bác Năm thu được, ta có: $F = 40x + 50y$.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F = 40x + 50y$, với $(x, y)$ là một điểm thuộc miền đa giác $\mathcal{D}$.

Lúc này, với mỗi giá trị thực của $F$, ta thấy phương trình $40x + 50y = F$ có đồ thị là họ các đường thẳng song song với nhau ứng với mỗi giá trị thực $F$.

Như vậy, nghiệm của bài toán là giá trị $F$ lớn nhất sao cho đường thẳng $40x + 50y = F$ giao với miền $\mathcal{D}$ khác rỗng. Từ hình vẽ, xét trên miền $\mathcal{D} = OABC$ ta thấy:

$\max\limits_{\mathcal{D}} F = 340$ tại $B(6;2)$

Nhận xét. Nếu miền nghiệm của hệ bất phương trình là một đa giác $\mathcal{D}$ (gồm cả biên là các đường thẳng), thì tồn tại một trong các đỉnh của $\mathcal{D}$ để biểu thức $F$ (hàm mục tiêu) đạt giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) trên miền $\mathcal{D}$ tại đỉnh đó.

Trong bài toán này, biểu thức $F$ đạt giá trị lớn nhất trên miền $\mathcal{D}$ tại một trong các đỉnh của tứ giác $OABC$, ta có:

• Tại $O(0;0)$: $F = 0$.
• Tại $A(0;6)$: $F = 300$.
• Tại $B(6;2)$: $F = 340$.
• Tại $C(8;0)$: $F = 320$.

Vậy, bác Năm nên trồng $6$ ha ngô và $2$ ha đậu xanh, số tiền thu được nhiều nhất là $340$ triệu đồng.

Chú ý.

• Có thể không tồn tại giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm mục tiêu $F$ nếu miền $\mathcal{D}$ không đóng.
• Có vô số điểm trên miền $\mathcal{D}$ thỏa đề bài nếu đồ thị của hàm mục tiêu song song với một trong các cạnh của $\mathcal{D}$.