Quỹ đạo đường đi của cầu lông

Trong môn cầu lông, khi phát cầu, người chơi cần đánh cầu qua khỏi lưới sang phía sân đối phương và không được để cho cầu rơi ngoài biên.
Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$, chọn điểm có tọa độ $\left(0 ; y_{0}\right)$ là điểm phát cầu thì phương trình quỹ đạo của quả cầu khi rời khỏi mặt vợt là:

\[y=\frac{-g x^{2}}{2 v_{0}^{2} \cos ^{2} \alpha}+x\tan \alpha +y_{0} \tag{*}\label{abc}\]

(SGK-CTST Toán 10, tập 1)

trong đó:

• $\mathrm{g}$ là gia tốc trọng trường (thường được chọn là $9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ );
• $\alpha$ là góc phát cầu (so với phương ngang của mặt đất);
• $v_{0}$ là vận tốc ban đầu của cầu;
• $y_{0}$ là khoảng cách từ vị trí phát cầu đến mặt đất.

Đây là một hàm số bậc hai nên quỹ đạo chuyển động của quả cầu là một parabol.

Xét trường hợp lặng gió, với vận tốc ban đầu và góc phát cầu đã biết, cầu chuyển động theo quỹ đạo parabol nên sẽ

• Đạt vị trí cao nhất tại đỉnh parabol, gọi là tầm bay cao;
• Rơi chạm đất ở vị trí cách nơi đứng phát cầu một khoảng, gọi là tầm bay xa.

Bây giờ, ta sẽ đi tìm lời giải thích cho công thức (\ref{abc}). Xét biến thời gian $t$ tính từ lúc cầu được phát $(t=0)$ đến khi cầu chạm đất (thời điểm mà $y=0$).

Tại thời điểm $t=0$, cầu bị tác động bởi lực đánh, lực này tạo vận tốc $\vec{v_0}$ cho cầu. Ta phân tích $\vec{v_0}$ thành hai véc-tơ $\vec{v_{0x}}$ và $\vec{v_{0y}}$ như sau

$$ \usetikzlibrary{shapes.geometric,arrows,calc,intersections,angles,patterns,snakes,shadows} \begin{tikzpicture}[scale=1, font=\footnotesize, line join=round, line cap=round, >=stealth, declare function={ g = 9.8; a = 40; Vo = 10; Yo = 1; y(\x) = -g*(\x)^2/(2*(Vo)^2*(cos(a))^2)+(\x)*tan(a)+Yo; } ] \draw[->] (-1,0)--(12,0) node[below]{$x$}; \draw[->] (0,-1)--(0,3.5) node[left]{$y$}; \path (0,0) node[below left]{$O$}; \draw[magenta,thick] plot[domain=0:11.12] ({\x},{y(\x)}); \draw[very thick,->] (0,Yo) coordinate(A) node[left]{$y_0$}--++(a:2) node[above]{$\vec{v_0}$} coordinate(B); \draw[very thick,->] (0,Yo)--++({2*cos(a)},0) coordinate(C) node[below]{$\vec{v_{0x}}$}; \draw[very thick,->] (0,Yo)--++(0,{2*sin(a)}) coordinate(D) node[left]{$\vec{v_{0y}}$}; \draw[dashed] (C)|-(D); \pic["$\alpha$",draw] {angle = C--A--B}; \fill[magenta] (0,Yo) circle (2pt); \end{tikzpicture} $$

Lúc này ta có

\begin{eqnarray*} v_{0x} = v_0 \cos\alpha \\ v_{0y} = v_0 \sin\alpha \end{eqnarray*}

Xét tại thời điểm $t>0$, lúc này cầu lông bị tác động thêm bởi lực hút của trái đất, lực này tạo thêm cho cầu một véc-tơ vận tốc $\vec{v_g}$ được xác định như sau \[\vec{v_g}=\vec{g}t\] Trong đó $\vec{g}$ là véc-tơ gia tốc trọng trường có độ lớn $g\approx 9.8$ m/s$^2$. Ta có hình vẽ sau

$$ \usetikzlibrary{shapes.geometric,arrows,calc,intersections,angles,patterns,snakes,shadows} \begin{tikzpicture}[scale=1, font=\footnotesize, line join=round, line cap=round, >=stealth, declare function={ g = 9.8; a = 40; Vo = 10; Yo = 1; y(\x) = -g*(\x)^2/(2*(Vo)^2*(cos(a))^2)+(\x)*tan(a)+Yo; } ] \draw[->] (-1,0)--(12,0) node[below]{$x$}; \draw[->] (0,-1)--(0,3.5) node[left]{$y$}; \path (0,0) node[below left]{$O$}; \path (0,Yo) node[left]{$y_0$}; \draw[magenta,thick] plot[domain=0:11.12] ({\x},{y(\x)}); \def\t{3} \begin{scope}[shift={(\t,{y(\t)-1})}] \draw[very thick,->] (0,Yo) coordinate(A)--++(a:2) node[above]{$\vec{v_0}$} coordinate(B); \draw[very thick,->] (0,Yo)--++({2*cos(a)},0) coordinate(C) node[below]{$\vec{v_{0x}}$}; \draw[very thick,->] (0,Yo)--++(0,{2*sin(a)}) coordinate(D) node[left]{$\vec{v_{0y}}$}; \draw[dashed] (C)|-(D); \draw[very thick,->] (0,Yo)--++(-90:{0.025*g*\t}) node[below]{$\vec{v_g}$}; \fill[magenta] (0,Yo) circle (2pt); \end{scope} \end{tikzpicture} $$

Lúc này cầu lông có vận tốc là $\vec{v}$ được xác định như sau

\[\vec{v}=\vec{v_x}+\vec{v_y}\] Trong đó \begin{eqnarray*} &&\vec{v_x} = \vec{v_{0x}} \\ &&\vec{v_y} = \vec{v_{0y}} + \vec{v_g} \end{eqnarray*} Các véc-tơ trên được minh họa như sau

$$ \usetikzlibrary{shapes.geometric,arrows,calc,intersections,angles,patterns,snakes,shadows} \begin{tikzpicture}[scale=1, font=\footnotesize, line join=round, line cap=round, >=stealth, declare function={ g = 9.8; a = 40; Vo = 10; Yo = 1; y(\x) = -g*(\x)^2/(2*(Vo)^2*(cos(a))^2)+(\x)*tan(a)+Yo; } ] \draw[->] (-1,0)--(12,0) node[below]{$x$}; \draw[->] (0,-1)--(0,3.5) node[left]{$y$}; \path (0,0) node[below left]{$O$}; \path (0,Yo) node[left]{$y_0$}; \draw[magenta,thick] plot[domain=0:11.12] ({\x},{y(\x)}); \def\t{3} \begin{scope}[shift={(\t,{y(\t)-1})}] \path (0,Yo) coordinate(A)--++(a:2)coordinate(B); \draw[blue,very thick,->] (0,Yo)--++({2*cos(a)},0) coordinate(C) node[below right]{$\vec{v_x}=\vec{v_{0x}}$} coordinate(K); \draw[very thick,->] (0,Yo)--++(0,{2*sin(a)}) coordinate(D) node[left]{$\vec{v_{0y}}$}; \draw[very thick,->] (0,Yo)--++(-90:{0.025*g*\t}) node[below]{$\vec{v_g}$} ; \draw[very thick,->,blue] (0,Yo)--++(0,{2*sin(a)-0.025*g*\t}) node[left]{$\vec{v_y}$} coordinate(KK); \draw[very thick,->,blue] (0,Yo)--++($(K)+(KK)-2*(0,Yo)$) node[above]{$\vec{v}$}; \fill[magenta] (0,Yo) circle (2pt); \end{scope} \end{tikzpicture} $$

Độ lớn của chúng là \begin{eqnarray*} &&v_x = v_{0x} = v_0\cos\alpha \\ &&v_y = v_{0y} - v_g = v_0\sin\alpha - gt \end{eqnarray*} Do đó, độ dời của cầu theo các hướng của $\vec{v_x}$ (chuyển động đều) và $\vec{v_y}$ (chuyển động biến đổi đều) có độ lớn tương ứng là \begin{eqnarray*} &&x = (v_0\cos\alpha) t\\ &&y = (v_0\sin\alpha) t - \dfrac{1}{2}gt^2 + y_0 \end{eqnarray*} Biến đổi ta có \[y = (v_0\sin\alpha) \dfrac{x}{v_0\cos\alpha} - \dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{x}{v_0\cos\alpha}\right)^2+y_0\] Hay \[y = x\tan\alpha -\dfrac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\alpha}+ y_0\] Vậy đẳng thức ban đầu được khẳng định.